2006年04月25日
統計とその先
地理学の授業スタイルは、２週間に１回レポートを提出して、授業ではその中から何人かが発表するという結構ハードだけれど、勉強になるもの。資料集めが大変ながら、やりがいのあるものになりそうです。その中で、統計から興味をもって統計の関連することがらを学ぼうということで、興味深い例をご紹介します。統計資料は全てデータブック オブ・ザ・ワールド—世界各国要覧と最新統計〈2006年版〉二宮書店
表１：世界の食料自給率
表２：日本の食料自給率
さて、この表をご覧になられて、何を感じられますか？私は、日本の異常に低い食料自給率です。先生も仰ってましたが、自国の安全保障上如何なものかと・・・自由主義貿易論の方々は、日本の良質の家電製品や車や技術を売って、安い食料を買えばいいといいます。確かに、工業製品は付加価値がつくもので、農業製品より利益を稼ぎ易いものでしょう。（私は、日本の農業製品は高級品として十分国外に通用するものだと思っています。最近、輸出も増えているようです。）しかし、中国がもの凄い勢いで、工業化をしている昨今、そのアドバンテージはいつまで保てるのでしょうか！？
食料自給率の低さの問題点
・米の自給率95％でも安心できない
→３食ご飯を食べなくなった日本人の食生活での95％
小麦の輸入が止まり、３食ご飯になったら自給できない。
〔参考：日本人の一人当たりの米と小麦の消費量〕
米：65.2kg/年 小麦：44.5kg/年 （2004年）
・米が不作の場合、他国の安い米を輸入しなければならない
→1993年の米不足で日本がタイ米を大量に輸入したことにより、
それまで、タイから米を輸入していたバングラディシュなどに
米が廻らず、多くの人々が餓死してしまった。
報道などで掲載される統計は、必ずしも前後の文脈を伝えているものではありません。そして、報道はセンセーショナルなできごとを報道します。報道される統計は、使い方によって、ある方向性がついてしまいます。昨日のエントリーでも統計のマジックを紹介しましたが、統計からその先を想像すること、考えることが必要ですね。インターネットやデータブックで情報を仕入れ易い時代ですが、その先を考えることの必要性を先生は説いていらっしゃいました。全くその通りだと思います。
引用・参考文献
データブック オブ ザ ワールド
2006年01月03日
暗号(1)
さて、連続で数学を復習しておりますが、今日はついに暗号です。暗号というとスパイとか007とかそんなことを思い出します。最近のインターネット社会では暗号やパスワードというものがとても重要になっています。
まずは、歴史的暗号についてです。
1.シーザー暗号
紀元前１世紀にシーザーが使ったもので、ルネッサンス期まで使われたそうです。
Q1：次のシーザー暗号文は英文による質問になっている。
その質問とは何ですか？
XIFSFEPZPVXBOUUPHP??
ヒント：鍵は１
2.ヴィジュネル暗号
フランスの外交官ヴィジュネルが考え出した暗号です。
シーザー暗号の欠点を克服したものです。しかし、１９世紀末には解読の
手引書が出たそうです。
Q2：次の暗号文は英文による質問になっています。どんな質問でしょう？
UGYRHQWNSPHBLTJZDP?
ヒント：鍵はBab
3.シャッフル暗号
シャッフルという言葉が仕組みです。
Q3：次の暗号は英語の質問になっています。なんと質問しているでしょう。
AWDHOTUYAONWOTOTADEFGTRRUATDIAUNIGVNSETRYI?
ヒント：鍵は315264
正解
Q1：WHERE DO YOU WANT TO GO?
アルファベットを１進めてます。
Q2：WHAT IS YOUR ID NUMBER?
UGY RHQ WNS PHB LTJ ZDP?
BAB BAB BAB BAB BAB BAB
このような形に区切って、
B：２個アルファベットを戻る
A：１個アルファベットを戻る
というようにアルファベットを並べ替えると英文が出て来ます。
Q3：WHAT DO YOU WANT TO DO AFTER GRADUATING UNIVERSITY?
これは6桁毎に区切って、鍵の315264の順で並び替えます。
AWDHOT UYAONW OTOTAD EFGTRR UATDIA UNIGVN SETRYI
315264 315264 315264 315264 315264 315264 315264
いずれの問題もヒントはそれぞれの鍵になります。鍵を知っていれば解ける問題という訳です。これのどこが合同式と繋がるのか？実は？？ですが、modのようにある単位や決め事を当てはめていくというところが関係しているのでしょうか？休み明けに先生に確認してみます。
2006年01月02日
合同式（余り算）（3）
新年そうそうしつこくも合同式の続きです。
前回の an≡bn（mod m）の公式の練習問題が下記になります。
Q：次の1)〜4）のbの値をできるだけ小さい自然数で求めよ
1)133≡b（mod 15）
2)49100≡b（mod 8）
3)710≡b（mod 13）
4)616≡b（mod 7）
正解は
↓
↓
↓
↓
↓
↓
1)13 ≡ー2 （mod 15）
133 ≡ー23(mod 15）
133 ≡ー8（mod 15）
133 ≡7（mod 15）
＊正の整数にこだわらずに小さくすることがポイント！
2)49 ≡1（mod 8）
49100≡1100（mod 8）
49100≡1（mod 8）
3)72 ≡10≡ー3（mod 13）
76 ≡ー33（mod 13）・・・(ア)
≡ー27（mod 13）
≡ー1（mod 13）
76 ≡ー1（mod 13）
×72 ≡ー3（mod 13）
×72 ≡ー3（mod 13） ・・・(イ)
710 ≡ー9（mod 13）
710 ≡4（mod 13）
(ア)の計算は76＝（72）3
2乗と3乗を掛けます。
(イ)の計算は710＝76×72×72
6乗に2乗×2乗で乗数を足して6＋2＋2で10乗です。
いずれも 2で計算するとわかり易いです！
(ⅰ)：（22）3＝43＝64＝26
（ⅱ)：22×23＝4×8＝32＝25
4)61 ≡5 ≡ー2（mod 7)
613 ≡ー23（mod 7)
613 ≡ー8 ≡ー1（mod 7）
613 ≡ー1（mod 7）
×613 ≡ー1（mod 7）
616 ≡1（mod 7）
という訳です。計算の過程でできるだけ小さい数値を使うことがポイントになります。1とかー1、2とかー2とか小さい数を使うと計算は簡単にできます。
さて、いよいよ1414時が何時か１分以内にとけるようになったと思いますがどうでしょう。
14 ≡2（mod 12）
143 ≡23≡8≡ー4（mod 12）
143 ≡ー4（mod 12）
×143 ≡ー4（mod 12）
146 ≡16≡4（mod 12）
146 ≡4（mod 12）
×146 ≡4（mod 12）
×142 ≡22（mod 12）
1414 ≡64≡4（mod 12）
したがって、1414時は４時ということでしょうね。あってますでしょうか！？もっと簡単な方法もある気もするんですけど・・・
とりあえず合同式についてはこれでお終いになります。ここから世界最強の暗号へと続いて参ります。何となくケプラー→バッハ→合同式と強引な展開なような気がしますが、果たしてどうなることやら？？？
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2005年12月29日
合同式（余り算）（2）
1414時は何時か？という課題をする前に、少し勉強します。
記号≡は必要に応じて、いくらでもつなげてもよい
これはどういうことかというと、
16≡4（mod 3）と出した時、
↓4はまだ3で割れるので更に割ると
16≡1（mod 3）ですから、
↓
16≡4≡1（mod 3）としてＯＫです。
同じように59≡ー4（mod 9）と出してしまった時、
ー4≡5（mod 9）なので、
↓
59≡ー4≡5（mod 9）としてもＯＫです。
これは数学的には
a≡b（mod m）かつ b≡c（mod m）ならば a≡c（mod m）
ということです。さらにこのような性質があります。
すなわち、98≡2（mod 3）ということです。そうすると例えば
11≡5（mod 6）
8≡2（mod 6）
88≡10（mod 6）
となりますが、まだ割れますから、
88≡4（mod 6）
となります。こらは数学的に表すと
a≡b（mod m）かつ c≡d（mod m）のとき ac≡bd（mod m）・・・＊
です。つまり、おなじ（mod m）の時に、左右の両辺同士を掛けて≡でつなげられるということです。
では、103≡27≡6（mod 7）とどうやって簡単に計算できるでしょうか？103＝1000を7で割るのではなく簡単に出す方法があります。
10≡3（mod 7）・・・これはＯＫです。
10≡3（mod 7）
× 10≡3（mod 7）
102≡32（mod 7）
× 10≡3（mod 7）
103≡33（mod 7）
↓
103≡27（mod 7） 27はまだ7で割れますから
↓
103≡6（mod 7）
つまりこれは＊の応用という訳で、これを数学的に表すと
自然数nに対して
an≡bn（mod m）
ということです。そうすると1414時は何時か？というのが簡単に解けるようになりそうですね。それにしてもえらくいい復習になります。しかし、まだまだ、つづきます！
2005年12月28日
合同式（１）
さて、ケプラーから世界最強の暗号につながるという数学の講義がありましたが、どう繋がって行くのか。つづきです。正直ケプラーからバッハへの繋がりは、ピュタゴラス哲学ということであったのですが、少々強引な気がします。
さて、そのバッハのロ短調ミサ曲ですが、螺旋構造で転調を続けて行きました。その構造は下の図のようになっています。
図１
本当は時計回りに転調していき、シ♭から１オクターブ上のドに転調していくのですが、構造的には上の図のように転調していきます。これと同じようなものが時計なのですが、これは１周が６時間の時計と同じです。
図２
この時、図１と図２は見かけは違いますけれど、同じ構造をしています。これを式で表すと下記のようになります。
図１≡図２
"≡"は環境により表示がおかしくなっているかもしれませんが、"＝"にもう１本"ー"が入って、長さが同じ漢字の三のような記号です。
これを時計でやってみますと使い方がわかり易いです。
13時≡1時
21時≡9時
40時≡4時
となります。では1000時は何時でしょう？これは実は間違い易い問題です。
正解は
1000時≡4時
となります。
13時≡1時 は地球という半日が12時間の惑星で通用するものです。これは数学的には"mod"といってmodulus（モジュラス）またはmodulo（モジュロ）と読む記号と合わせて使います。つまり整数ａを自然数ｍで割った余りをｂとする時に
a≡b（mod m）
と書きます。そうすると13時≡１時は
13≡1（mod12）
と書けます。つまり、13を12で割ると商が1で1余るということと同じです。そうすると50を3で割るとどうなるでしょう。
50≡2（mod3）
50÷3＝16余り2ですが、下記のようにも考えられます。
50ー（3×16）＝50ー48＝2・・・・a
50ー（3×17）＝50ー51＝ー1・・・b
50≡2（mod3）・・・・a
50≡ー1（mod3）・・・b
数学ではこのように論理的に正しい場合は、このように考えてもいいそうです。そうすると負（マイナス）の割り算も同じ要領でできます。例えば、今から56時間前は何時という問題が出たとすると、−56＝12×（ー5）＋4ですから
ー56≡4（mod12）
と書けます。もちろんマイナスもOKですから
ー56≡ー8（mod12）
とも書けます。
さて、ここで課題として与えられたのが、
1414時は何時か１分以内で計算せよ！
という問題です。果たしてできるでしょうか！？長くなるので明日にします。
2005年12月15日
ロ短調ミサ曲
昨日は数学の講義があったのですが、前回の宿題であったケプラーの仮説１、２の間違っている点について、レポート課題になりました。そのため、答えがわからないので何やら不完全燃焼です。
さて講義は、そのケプラーからピュタゴラス哲学の流れを引き継ぎ、ここから暗号へと繋がって行く内容になっていくそうです。何だかとっても面白そうです。ということで昨日の数学の講義の内容は、J.S. バッハの『ロ短調ミサ曲』
この曲は、ザクセン選帝侯フリードリッヒ・アウグスト２世に送った『キリエ』、『グローリア』が元となっているそうです。この曲はGloriaという神の栄光を讃える曲だそうです。転調が続き高まること＝王の栄光が高まる、という意図があったそうです。音楽的な詳しいことは他に譲ります。
では、この曲と数学的なことがどう結びついていくのか！？この曲の構成から入っていきます。
1)前半
３拍子
３和音で合奏開始
弦、木管、金管の３つのグループでの合奏
Gloria in excelsis deo：天の神に栄光あれ
2)後半
４拍子
１４パートによるフーガ
Et in terra pax hominibus bonae voluntatis
それは、地に平和をもたらし、人に良き行いをもたらす
（et=and、terra=地球、pax=平和、hominibus=複数表現？、
bonae=良い、voluntatis=善意、先生hominibusの意味を忘れてました）
3)構造
ド → レ → ミ → ファ＃ → ラ♭ → シ♭の６つの転調を経て、１つ上のドへ
そしてまた、ド → レ → ミ →・・・と続いていく構造
ここに見える数字は、３、４、１４です。これらの数字に意味があるのだと数学者である先生はおっしゃいます。前半は神の栄光を表すため、３に関わる内容。そして後半は地上会のことを表した数字４とBACH自身を表したそうです。
３：神・天を表す。三位一体。
４：人間界・地。四元素の４。
６：この数字の説明がなかった。３と３を足した数字で創造性、全体性
１４：BACH（バッハ）自身を表す。
（ABCDEFGHI・・・123456で数えると、２＋１＋３＋８＝１４）
６回転調して１オクターブ上になり、再び６回転調するというのは聞きましたが、説明がなかった６の数字の意味を加えております。ピュタゴラス派によると６は創造性をあらわす数であるそうです。つまり先生は14を除いて、バッハはピュタゴラス哲学の考えをもってこの曲を作曲したのだというのです。なんだか少々強引にここまで引っ張って来た気がします。
このあとから合同式と呼ばれるものに続いていったのですが、時間がなくなり途中で終了してしまいました。それについては来週の水曜日まで待たなければなりません。果たしてこれがどう暗号と繋がっていくのか？アルゴリズムとかその辺に繋がるのでしょうか？来週が楽しみであります。
参考URL
音楽的イコンとしてのバッハ「ロ短調ミサ曲」
Ensemble Voce（アンサンブル・ヴォーチェ）：ロ短調ミサ曲について（その１）
バッハ：ロ短調ミサ：パンフレット先読み
2005年12月09日
ケプラーの法則 その２
ケプラーについての講義は実は水曜日にあったのですが、復習を兼ねてStudyです。
図１
Ｑ１
水星と金星はある時は右から左へ、ある時は左から右へと逆行して
いるように見えます。それはなぜでしょう？
Ｑ２
水星と金星が動く範囲はどのようにして求められますか？
図２
答１
公転の方向は同じなので地球との位置関係で、太陽の向こう側にある時は
右から左へ、太陽より地球側にある時は左から右へ動いて見えるからです。
答２
地球から水星、金星それぞれに接する線分より内側の範囲で見えます。
つまり軌道に接する線分の角度の範囲が見える範囲となります。
（図２は金星の例）
ちょっと説明の語句が適当であるか疑問がありますが、図を参照願います。
そして、ここからが少し数学的です。ケプラーは二つの仮説を作ったそうです。
図3
ケプラーの仮説１
力Fは太陽からの距離Rに反比例するだろう。ということはFが大きくなればRが小さくなる、Fが小さくなればRがでかくなるということが反比例ですから次の数式で表せます。
Ｆ ∝ １/Ｒ ＊∝は比例を表す記号です。
F ∝ R がFはRに比例するという意味ですので、反比例するということは1/Rに比例することと同じ意味になります。
ケプラーの仮説２
物体は及ぼされた力Fに比例した速度vで動く。
ｖ ∝ Ｆ
ということはつまり"F ∝ 1/R" で "v ∝ F"ですから
∴ ｖ ∝ １/Ｒ ＊∴は「ゆえに」
これは
ｖ × Ｒ＝一定
ということになります。
＊復習
yがxに比例する
⇒ y＝cx （c：比例定数のことcは一定値）
↓これと同じ意味
y/x＝c
ということは"ｖ∝１/Ｒ"「vは1/Rに比例する」（vはRに反比例する）は
v＝c×1/R
↓
vR＝c（一定）
となります。vRは速度面積。つまりこれは、ケプラーの第２法則（面積速度一定の法則）の
「太陽と惑星を結ぶ線分が一定時間に掃く面積は一定である」
を証明するものとなる。という訳です。
しかし！ケプラーは仮説１、仮説２でそれぞれ間違いをおかしていたのです。２回間違いをおかしたために正解に出会ってしまったのです。ではその間違いとは何でしょう？というのが次週までの宿題となりました。私まだ考え中です！
2005年12月05日
ケプラーの法則
先週数学ではケプラーの法則が出て来ました。地学か物理かで高校時代に勉強したかすら忘れていました。
ケプラーの第１法則
惑星は太陽を一つの焦点とする楕円軌道を描く
ケプラーの第２法則（面積速度一定の法則）
太陽と惑星を結ぶ線分が一定時間に掃く面積は一定である
ケプラーの第３法則（調和法則）
惑星の公転周期の２乗と太陽との平均距離（長半径）の３乗は比例する
しかし、第１法則では太陽以外の焦点は自ずと割り出されているはずですが、なぜ言及がないのか？また、もう一つの焦点についての決定は他の惑星の位置などにより決定される普遍的な位置が割り出せるのか？宇宙では銀河がそれぞれ離れていて移動しているといいますが、それらの移動は何ら地球の公転には影響を与えないか？などと疑問が湧いて来ます。しかし、どうやらそうでもなく純粋に太陽と地球など、と相対する特定の関係で通じる理論のようです。（参考URL参照下さい。）
また、先生はニュートンの方が天才であったと言っていましたが、なぜなのか？興味が湧いてきました。もともと宇宙や天体の話が好きなのですが、数学でこの話がどう展開していくのか楽しみです。先週は、途中で終わってしまったので、今週の続きが今から楽しみです。水曜日の予定です。それにしても大学での数学は哲学チックであり、今までと違った面白さがあります。興味だけで、なかなか理解するところまでいきませんが、この手の本を片手に、カフェで読書をする休日が欲しいこの頃です。
参考URL
Wikipedia：ご存知Web百科事典
武蔵高等学校 中学校 太陽観測部：こんなページを発見しました
ケプラー書評集：ケプラー関連の書評をまとめました
猫だっていろいろ考えているんです：科学がこんなに哲学的なのかと教えてくれます。数学の先生だけではなかった。
投稿者 Bab : 17:43 | コメント (2) | トラックバック
2005年11月10日
計算-1
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＝５５
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＋１１＋・・・１００＝？
これを簡単に計算する方法があることを知っていますか？
目から鱗でした！！
答えは↓
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10の解は
(１＋１０)×１０÷２で簡単に計算できます。
これは下のように考えることができます。
1)の反対に2)を並べてそれぞれ縦で同じ列の数字を足すと11＋11＋11・・・・
1) 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10
2)10+ 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
3)11+11+11+11+11+11+11+11+11+11＝110＝11×10
1)の合計＋2)合計＝3)の合計ですから
1)＋2)＝3)＝110・・・・4)
しかし、これは1)の合計が二つと同じ意味です。
ですから
4)÷2＝1)＝55
結論
連続する数字を足す場合は最初と最後の数字を足した数字に最後の数字を掛けて２で割ると答えが簡単に出ます。
ex.)１＋２＋３＋・・・・・・1,000は？
（1＋1,000）×500÷２＝250,250
結構便利ですよね！
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2005年11月06日
ビーカーの水２ー答え
正解は各ビーカーをナナメに傾けることで６L→３L、８L→４Lと半分にすることができます。したがって、
step1 ８Lのビーカーをナナメに傾けて４Lを測る。
step2 ４Lの水を６Lのビーカーに入れる
step3 ６Lのビーカーを傾けながら３Lに合わせ、こぼれる水を空の８Lの
ビーカーで受ける
step4 ８Lのビーカーに残った水が１Lという訳です。
これがどのように中学の数学と繋がって行くかということは、後ほどレポートします。
2005年11月03日
ビーカーの水２
問い：６Lと８Lのビーカーを使って１Lの水を取り出せ
私！？・・・できませんでした・・・・（TT）
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2005年11月02日
ビーカーの水ー解説
ということでめでたく１Lがとれました！
言われればあ〜そうですね！と思うんですけどね〜（TT）
2005年10月31日
ビーカーの水
数学なんという一般教養も学んでいます。しかし、それは中学、高校のそれとは違います。
こんな問題を考えたりします。
問い：水がたっぷり入った大樽と７Lと11Lのビーカーがあります。
この２つのビーカーを使って、１Lの水を汲み出せ。
結構頭が固くなっているもんです。数学の講義は頭の体操にもなるので結構好きです。